Exemple formule de taylor

Pour chaque terme: prendre la dérivée suivante, diviser par n! Poursuivant ce processus, [P_n (x) = f (0) + f` (0) x + frac{f` ` (x)} {2! Trouvez les trois premiers termes non nuls dans la série Taylor pour $ tan x $ sur $ [- pi/4, pi/4] $, et calculez le terme d`erreur garanti tel que donné par le théorème de Taylor. Voici la série Taylor pour celui-ci. Donc, nous ne ramasser des termes avec des pouvoirs même sur le (x ) `s. Dans ce cas, nous obtenons seulement des termes qui ont un exposant impair sur (x ) et comme avec le dernier problème une fois que nous ignorons les termes zéro il ya un modèle clair et la formule. Le théorème de Taylor (en fait découvert d`abord par Gregory) indique que toute fonction satisfaisant à certaines conditions peut être exprimée sous la forme d`une série de Taylor. Donc, tout ce que nous devons faire est de remplacer le (x ) dans la série Taylor que nous avons trouvé dans le premier exemple avec “- (x )”. Faisons la même chose avec celui-ci. En fait, si nous devions multiplier tout ce que nous venons de revenir au polynôme d`origine! Dans l`exploration, comparez les graphiques de diverses fonctions avec leurs polynômes de Taylor de premier à quatrième degré. Pour voir un exemple de celui qui n`a pas de formule générale, consultez le dernier exemple de la section suivante. Pour trouver la série Taylor pour une fonction, nous devrons déterminer une formule générale pour ({f ^ {left (n right)}} left (a right) ). Nous verrons une belle application des polynômes de Taylor dans la section suivante.

Notez que nous gardons temporairement $x $ fixé, de sorte que la seule variable dans cette équation est $t $, et nous ne serons intéressés que dans $t $ entre $a $ et $x $. Ce ne sera pas toujours le cas. Après quelques calculs, nous avons pu obtenir des formules générales pour les deux [{f ^ {left (n right)}} left (x right) ] et [{f ^ {left (n right)}} left (0 right) ]. Toutefois, dans ce cas, il existe une méthode de solution beaucoup plus courte. Abramowitz et Stegun 1972, p. Les deux sont assez simples, mais l`un d`eux nécessite beaucoup moins de travail. La recherche d`une formule générale pour ({f ^ {left (n right)}} left ({-4} right) ) est assez simple. Si vous voyez ce message, cela signifie que nous avons du mal à charger des ressources externes sur notre site Web. Série Taylor.

Par théorème de Rolle (6. Si nous pouvons montrer que $ $ lim_{Ntoinfty} left | {x ^ {N + 1} over (N + 1)! Le problème est qu`ils sont au-delà de la portée de ce cours et ne sont donc pas couverts ici. Ensuite, pour chaque $x not = a $ en $I $ il y a une valeur $z $ entre $x $ et $a $ de sorte que $ $ f (x) = sum_{n = 0} ^ N {f ^ {(n)} (a) over n! Remarquez que nous avons simplifié les factorielles dans ce cas. Afin de brancher ce dans la formule de la série Taylor, nous aurons besoin de dépouiller le (n = 0 ) terme en premier. C`est en fait l`une des plus faciles série Taylor qu`on nous demandera de calculer. Supposons que nous travaillons avec une fonction $f (x) $ qui est continue et a $n + $1 dérivés continus sur un intervalle d`environ $x = $0. Comtet, L. Avant de quitter cette section, il y a trois séries importantes de Taylor que nous avons tirées dans cette section que nous devrions résumer en un seul endroit. Rappelant que $F (a) = f (x) $ nous obtenons $ $ F (x) = sum_{n = 0} ^ N {f ^ {(n)} (a) over n! Commençons par une notation et des définitions dont nous aurons besoin. À certains $z $, $F` (z) = 0 $ so $ $ eqalign{0 & = {F ^ {(N + 1)} (z) over N! Comment pouvons-nous transformer une fonction en une série de termes de pouvoir comme celui-ci? Le polynôme de Taylor est juste la somme partielle de la série.

Let`s Pick $a = $0 et $ | x | le pi/2 $; Si nous pouvons calculer $ sin x $ pour $x in [- pi/2, pi/2] $, nous pouvons bien sûr calculer $ sin x $ pour tous les $x $. Dans ma classe, je vais supposer que vous connaissez ces formules à partir de ce point.